Einfache Brüche und Kehrbrüche sind grundlegende Konzepte in der Mathematik. Den Kehrbruch erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner. Im Folgenden findest du verständliche Erklärungen und praktische Anwendungen.
Einfacher Bruch - Grundlagen und Definition
Ein einfacher Bruch besteht aus zwei Zahlen, die durch einen Bruchstrich getrennt sind:
- Zähler (obere Zahl) - gibt an, wie viele Teile wir nehmen
- Nenner (untere Zahl) - bestimmt, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird
Der Bruch \( \large\frac{3}{4}\) bedeutet, dass das Ganze in 4 gleiche Teile geteilt wurde und 3 davon genommen werden.
Beispiele für einfache Brüche:
Einfache Brüche werden verwendet, um Teile eines Ganzen in der Mathematik, beim Kochen, im Bauwesen und in vielen anderen Bereichen auszudrücken.
Anwendungen einfacher Brüche:
In der Küche
\( \large\frac{3}{4}\) Tasse Mehl, \( \large\frac{1}{2}\) Teelöffel Salz
Im Bauwesen
Brett mit einer Dicke von \( \large\frac{3}{4}\) Zoll
In der Musik
Noten \( \large\frac{1}{4}\), \( \large\frac{1}{8}\) zur Bestimmung der Dauer
Kehrbruch - was ist das und wie bildet man ihn
Definition:
Ein Kehrbruch ist ein Bruch, der durch Vertauschen von Zähler und Nenner des Ausgangsbruchs entsteht.
Beispiel: Der Kehrbruch von \( \large \frac{3}{4} \) ist \( \large \frac{4}{3} \)
Beispiel 1:
Der Kehrbruch von \( \large \frac{2}{5} \) ist \( \large \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \)
Beispiel 2:
Der Kehrbruch von \( \large \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \) ist \( \large \frac{3}{7} \)
Beispiel 3:
Der Kehrbruch von \( \large \frac{1}{4} \) ist \( \large \frac{4}{1} = 4 \) (eine ganze Zahl)
Wichtig!
Der Kehrbruch eines Bruches \( \large \frac{a}{b} \) existiert nur, wenn \( \large a \neq 0 \). Man kann keinen Kehrbruch für den Bruch \( \large \frac{0}{b} \) bilden, da dies zu einer Division durch Null führen würde.
Interessante Eigenschaft von Kehrbrüchen
Das Produkt eines Bruches und seines Kehrbruches ist 1:
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Diese Eigenschaft ist in der Algebra und beim Lösen von Gleichungen entscheidend. Sie ermöglicht es, einen Bruch zu "beseitigen", indem man beide Seiten der Gleichung mit seinem Kehrbruch multipliziert.
Bedeutung von Kehrbrüchen in der Mathematik
Division von Brüchen
Die wichtigste Anwendung von Kehrbrüchen ist die Division von Brüchen.
Division durch einen Bruch = Multiplikation mit seinem Kehrbruch
Beispiel: \( \large \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)
Lösen von Gleichungen
Kehrbrüche helfen, Gleichungen mit Brüchen zu vereinfachen.
Um einen Bruch loszuwerden, multipliziere beide Seiten der Gleichung mit seinem Kehrbruch
Beispiel:
Praktische Anwendungen von Kehrbrüchen
Beim Kochen
Wenn ein Rezept für 4 Personen ist und du für 6 Personen kochst, multiplizierst du die Zutaten mit \( \large\frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) (also mit 1,5).
In den Finanzen
Der Wechselkurs EUR/USD beträgt 1,10 USD für 1 EUR. Der umgekehrte Kurs (USD/EUR) ist \( \large\frac{1}{1,10}\) EUR für 1 USD.
In der Physik
Der elektrische Widerstand (R) ist der Kehrwert der Leitfähigkeit (G): \( \large R = \frac{1}{G}\)
Übungen - teste dich selbst!
Aufgabe 1: Finde die Kehrbrüche
- \( \large \frac{3}{5} \)
- \( \large \frac{7}{2} \)
- \( \large \frac{4}{9} \)
Aufgabe 2: Berechne die Division von Brüchen mit Hilfe von Kehrbrüchen
- \( \large \frac{1}{3} \div \frac{2}{5} \)
- \( \large \frac{5}{6} \div \frac{10}{3} \)
- \( \large \frac{4}{7} \div \frac{2}{7} \)
Aufgabe 3: Wende Kehrbrüche in Gleichungen an
- \( \large \frac{3}{4}x = 15 \)
- \( \large \frac{2}{5}y = 8 \)
- \( \large \frac{5}{9}z = 20 \)
Zusammenfassung
- Den Kehrbruch erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner
- Das Produkt eines Bruches und seines Kehrbruches ist immer 1
- Division durch einen Bruch = Multiplikation mit seinem Kehrbruch
- Kehrbrüche haben Anwendungen in der Mathematik, den Finanzen, der Physik und im Alltag
- Es gibt keinen Kehrbruch für einen Bruch, der gleich 0 ist
Kehrbrüche sind der Schlüssel zu vielen mathematischen Operationen, besonders zur Division!