Was ist der Dreisatz?
Mit dem Dreisatz rechnest du von einem bekannten Paar auf ein neues um. Du kennst zwei zusammengehörige Werte, etwa 3 Hefte und 6 €, und suchst den Wert, der zu einer dritten Zahl gehört. Der Name kommt von den drei Sätzen, in denen man rechnet:
- Schreib auf, was du weißt: 3 Hefte kosten 6 €.
- Rechne auf 1 herunter: 1 Heft kostet 6 € : 3 = 2 €.
- Rechne auf die gesuchte Menge hoch: 5 Hefte kosten 2 € · 5 = 10 €.
Proportionaler Dreisatz
Proportional heißt: je mehr, desto mehr. Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel. Deshalb machst du in der Tabelle auf beiden Seiten dasselbe, links und rechts teilen, links und rechts malnehmen:
| 3 Hefte | → | 6 € | ||
| : 3 | 1 Heft | → | 2 € | : 3 |
| · 5 | 5 Hefte | → | 10 € | · 5 |
Fasst du die beiden Schritte zusammen, bekommst du die Formel. Gehört a zu b, dann gehört zu c der Wert:
proportionaler Dreisatz
Mit Zahlen: x = 6 · 5 : 3 = 10. Das ist genau die Verhältnisgleichung 3/6 = 5/x.
Antiproportionaler Dreisatz
Antiproportional heißt: je mehr, desto weniger. Vier Personen brauchen für eine Arbeit 6 Tage. Mehr Personen schaffen es schneller, weniger Personen brauchen länger. Darum machst du rechts das Gegenteil von links: Teilst du links, nimmst du rechts mal.
| 4 Personen | → | 6 Tage | ||
| : 4 | 1 Person | → | 24 Tage | · 4 |
| · 3 | 3 Personen | → | 8 Tage | : 3 |
antiproportionaler Dreisatz, auch umgekehrter Dreisatz
Mit Zahlen: x = 4 · 6 : 3 = 8. Das Produkt aus Personen und Tagen bleibt immer 24.
Proportional oder antiproportional?
Frag dich vor dem Rechnen: Wenn ich mehr von der ersten Größe habe, bekomme oder brauche ich dann mehr oder weniger von der zweiten?
- Proportional: Menge und Preis, Strecke und Fahrzeit bei gleichem Tempo, Zutaten und Portionen.
- Antiproportional: Personen und Arbeitszeit, Tempo und Fahrzeit für dieselbe Strecke, Anzahl der Pumpen und Dauer.
Manchmal passt keins von beidem. Ein Kind ist mit 10 Jahren nicht doppelt so groß wie mit 5. Dann hilft auch der Dreisatz nicht.
Dreisatz mit Prozent
Auch Prozentaufgaben lassen sich mit dem Dreisatz lösen. Der Grundwert sind 100 %. Wie viel sind 25 % von 80 €?
| 100 % | → | 80 € | ||
| : 100 | 1 % | → | 0,8 € | : 100 |
| · 25 | 25 % | → | 20 € | · 25 |
Mit Brüchen geht es noch kürzer: 25 % sind 1/4, und ein Viertel von 80 € sind 20 €. Mehr dazu beim Rechner Bruch in Prozent.
Typische Fehler
- Bei antiproportionalen Größen auf beiden Seiten dasselbe rechnen. Dann kommt heraus, dass 3 Personen nur 4,5 Tage brauchen, also weniger als 4 Personen.
- Die Einheiten vertauschen. Was links steht, muss in jeder Zeile links stehen.
- Mit verschiedenen Einheiten rechnen, etwa Gramm und Kilogramm gemischt. Rechne vorher alles in dieselbe Einheit um.
Beispiele zum Ausprobieren
- 3 Hefte kosten 6 €. Was kosten 5 Hefte? Ergebnis: 10 €
- 2 kg Äpfel kosten 3,40 €. Was kosten 7 kg? Ergebnis: 11,90 €
- 4 Liter Farbe reichen für 300 m². Wie weit reichen 6 Liter? Ergebnis: 450 m²
- 4 Personen brauchen 6 Tage. Wie lange brauchen 3 Personen? Ergebnis: 8 Tage
- 6 Pumpen leeren ein Becken in 10 Stunden. Wie lange brauchen 4? Ergebnis: 15 Stunden
- 100 % sind 80 €. Wie viel sind 25 %? Ergebnis: 20 €
Weiterrechnen
Verhältnisse und Verhältnisgleichungen rechnest du mit dem Verhältnisrechner, Rezepte für mehr oder weniger Portionen mit dem Rezept-Umrechner. Wie man mit Brüchen und Dezimalzahlen rechnet, die beim Dreisatz oft herauskommen, zeigt der Bruchrechner.
Häufige Fragen
Wie funktioniert der Dreisatz?
In drei Schritten: Schreib auf, was du weißt. Rechne auf 1 herunter. Rechne auf die gesuchte Menge hoch. 3 Hefte kosten 6 €, 1 Heft kostet 6 : 3 = 2 €, 5 Hefte kosten 2 · 5 = 10 €.
Was ist die Formel für den Dreisatz?
Proportional: x = b · c : a. Antiproportional: x = a · b : c. Dabei gehört a zu b, und x gehört zu c.
Was ist ein antiproportionaler Dreisatz?
Einer, bei dem die eine Größe kleiner wird, wenn die andere wächst, etwa Personen und Arbeitstage. Beim Herunterrechnen auf 1 teilst du links und nimmst rechts mal. Man sagt auch umgekehrter Dreisatz.
Woran erkenne ich, ob proportional oder antiproportional?
Frag dich: Wenn ich mehr von der ersten Größe habe, brauche ich dann mehr oder weniger von der zweiten? Mehr Hefte kosten mehr Geld, das ist proportional. Mehr Personen brauchen weniger Tage, das ist antiproportional.
Wie rechne ich Prozent mit dem Dreisatz?
Der Grundwert sind 100 %. Bei 80 € und 25 % rechnest du: 100 % sind 80 €, 1 % sind 0,80 €, 25 % sind 20 €.
Muss ich die Einheiten eingeben?
Nein. Sie sind freiwillig und machen nur den Antwortsatz und die Tabelle lesbarer.