Was ist der ggT?
Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler: die größte Zahl, durch die alle Zahlen ohne Rest teilbar sind. Bei kleinen Zahlen schreibst du einfach die Teiler auf und suchst den größten, der überall vorkommt.
- Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Gemeinsam sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Der größte davon ist 12, also ggT(24; 36) = 12. Den ggT brauchst du zum Kürzen: Mit ihm ist 24/36 in einem Schritt vollständig gekürzt, 24/36 = 2/3.
Was ist das kgV?
Das kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache: die kleinste Zahl, die in den Einmaleinsreihen aller Zahlen vorkommt.
- Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
- Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, …
Die erste Zahl in beiden Reihen ist 12, also kgV(4; 6) = 12. Beim Bruchrechnen ist das kgV der Nenner der Hauptnenner: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
ggT und kgV mit Primfaktoren
Bei größeren Zahlen wird das Aufschreiben mühsam. Schneller geht es mit der Primfaktorzerlegung, so wie im Rechner:
Für den ggT nimmst du die Faktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen: zweimal die 2 und einmal die 3, also 2 · 2 · 3 = 12. Für das kgV nimmst du alle Faktoren der größeren Zahl (2, 2, 3, 3) und ergänzt, was von der anderen noch fehlt. Bei 24 fehlt eine dritte 2, also ist das kgV 2 · 2 · 3 · 3 · 2 = 72.
Der euklidische Algorithmus
Bei großen Zahlen gibt es einen Weg ohne Primfaktoren. Du teilst die größere Zahl mit Rest durch die kleinere, dann den Teiler durch den Rest, und so weiter, bis der Rest 0 ist. Der letzte Teiler ist der ggT. Für 1071 und 1029:
- 1071 = 1 · 1029 + 42
- 1029 = 24 · 42 + 21
- 42 = 2 · 21 + 0
Der Rest ist 0, der letzte Teiler war 21. Also ist ggT(1071; 1029) = 21.
ggT mal kgV
Für zwei Zahlen gilt immer: ggT mal kgV ist gleich dem Produkt der beiden Zahlen. Kennst du den ggT, bekommst du das kgV also mit einer Rechnung:
für zwei natürliche Zahlen a und b
Bei 24 und 36: 12 · kgV = 864, also kgV = 72. Zahlen mit dem ggT 1 nennt man teilerfremd, zum Beispiel 8 und 15. Ihr kgV ist einfach ihr Produkt, 120.
Beispiele zum Ausprobieren
Wähle ein Beispiel, und der Rechner zeigt dir den ganzen Rechenweg.
Weiterrechnen
Den ggT setzt du beim Kürzen ein, das kgV beim Addieren, Subtrahieren und Vergleichen von Brüchen.
Häufige Fragen
Was ist der ggT?
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte Zahl, durch die beide ohne Rest teilbar sind. ggT(24; 36) = 12.
Was ist das kgV?
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. kgV(4; 6) = 12, denn 12 ist die kleinste Zahl in der Viererreihe und in der Sechserreihe.
Wie berechne ich ggT und kgV mit Primfaktoren?
Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren. Für den ggT multiplizierst du die Faktoren, die in beiden vorkommen. Für das kgV nimmst du alle Faktoren der größeren Zahl und ergänzt die, die von der anderen noch fehlen.
Wofür brauche ich ggT und kgV beim Bruchrechnen?
Mit dem ggT kürzt du einen Bruch in einem Schritt vollständig. Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner, den du zum Addieren, Subtrahieren und Vergleichen brauchst.
Was bedeutet teilerfremd?
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist, wie bei 8 und 15. Ihr kgV ist dann einfach ihr Produkt, hier 120.
Gibt es einen Zusammenhang zwischen ggT und kgV?
Ja. Für zwei Zahlen gilt ggT mal kgV gleich dem Produkt der Zahlen. Bei 24 und 36: 12 · 72 = 864 = 24 · 36.